上次談及雞先或蛋先問題，意猶未盡。

今次的主角是希帕索斯（Hippasus），生活於大約公元前 500 年古希臘，生卒年月不詳，屬畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前 570-495）學派門生。

畢達哥拉斯學派教條之一，是「萬物皆數」。此「數」是指整數（number）；如非整數，便是整數合成的分數（fraction，有理數），再沒有其他了。

希帕索斯想出一個例子，輕易用畢氏定理（Pythagoras Theorem）推翻了畢氏學派這教條。

他的例子，是一個等腰直角三角形，即三角形其中兩條邊相等（設定為 a），夾角為直角（90 度）。利用畢氏定理，於是 2a² = c²，c 為斜邊。

假定 a 和 c 都是整數。但這是不可能的：如果 a 和 c 均為偶數，我們可以將三角形縮小一半，然後繼續下去，直至 a、c 其中之一為奇數。

好了，現在假定 c 為奇數，則 c² 也是奇數，但 2a² 明顯是偶數，故 2a² = c² 不可能。如果 c 為偶數，那麼可寫成 c = 2d，於是 c² = 4p²，從而 2a² = 4p²，即 a² = 2p²。故此 a 不可能是奇數，而是偶數，這也是不可能，因上文是「a、c 其中之一為奇數」。

於是，除了整數、分數之外，出現了無理數。無理數包括：√2、√3、圓周率、自然對數e等等。

希帕索斯的例子，同時又推翻畢氏學派的另一個想法。畢氏學派認為萬物皆是原子組成（對，那時已經有原子的觀念，認為原子是所有物質的基礎，只不過當時人們覺得所有原子都是相同的），故此所有長度均可用原子的數目來表示。問題就出在這裡 — 譬如，我們的電腦屏幕，是由像素（pixel）組成。然而，由於上述例子指出的矛盾，我們不可能在電腦屏幕上繪製一個完美的等腰直角三角形：一些地方須要「調整」配合，例如「直角」不可以是完美的 90 度；三角形的等邊不可能完全相等；三角形的邊不可能是完全直的，等等。

奇怪，古希臘數學家不太接受希帕索斯的論點。他們反而覺得，既然數字不足夠描繪一些簡單、他們視之為神聖的幾何圖形，於是將算術「降級」，將之服膺於幾何之下。當然，這不是十分正確的做法。

參考：A Beautiful Question – Finding Nature’s Deep Design, p. 24-26, F. Wilczek, Penguin Books, 2015.

 

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