大學數學學乜 — 好煩的定義
今次要介紹數學繁瑣、複雜、冗長的一面。那就定義。具體來說，今次要談「數字」的定義。
數字，我們從小學已開始學習它們，然後在中學又學。而這所有數字，都可以一字排開，被放在一條無限長的線上，像下圖。（註，下圖不包括複數）
但小學和中學老師卻不會跟你說清楚，這些數字的嚴格定義。例如，大家知道 1/2 代表「一半」，但「一半」只是日常生活的概念。但若要認真研讀數學，如到了大學程度，則不能夠如此求其。因為高等數學講求嚴格的邏輯論證（詳情可參閱〈數學的浪漫 – 第一篇〉第 2 部分），定義必須清楚。又例如圓周率 π，它大約等於 3.14，但它的小數位卻是無窮無盡的：3.1415926535… 我們應該如何嚴格地，清楚無誤地，定義一個有無限小數位的數呢？
這些，都會在大學數學學到。論難度，大概是二年級程度。我將與「數字」相關的定義，全部整理出來，請看下圖：
嘩！好複雜！
點解會咁複雜呢？我當然不能詳細解釋每一步是怎樣定義，但我可以簡單介紹下，有甚麼要定義。
- 由左下角開始，定義「0」
- 向上一格，定義所有自然數 (natural numbers，ℕ)：0, 1, 2, 3, 4, …
- 然後向右一格，定義自然數的加法 (+)
- 再向右一格，定義自然數的乘法 (x)
- 再向右一格，定義自然數的順序，即是讓我們可以比較大小 (≤)
這便完成了自然數的全部定義。
- 然後就可以升級，上一行，再由最左開始，定義所有整數 (integers，ℤ)：… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …。然後向右走，定義整數的加法、乘法、和順序。
- 然後又可以再上一行，定義所有分數，又稱有理數 (rational numbers，ℚ)。然後向右走，定義有理數的加法、乘法、和順序。
- 最後再上一行，終於可定義「所有數字」(數學上稱為實數，real numbers，ℝ)。然後向右走，定義它們的加法、乘法、和順序。當我們到達最右上角 “Complete ordered field” 那格，便大公告成啦！